# 曲げ応力・たわみ計算 - 技術根拠

## 対象範囲

次の4条件について、最大曲げモーメント Mmax・最大曲げ応力 σmax・最大たわみ量（絶対値）δmax・必要な支点反力を求める。

- 単純支持梁＋中央集中荷重
- 単純支持梁＋等分布荷重
- 片持ち梁＋先端集中荷重
- 片持ち梁＋等分布荷重

対象外：連続梁、不静定梁、複数の集中荷重の重ね合わせ、偏心荷重、せん断変形、座屈、疲労、応力集中、塑性解析。断面二次モーメントI・断面係数Zの算出自体は対象外（[section-properties.html](../../section-properties.html)を使用する）。

## 前提条件

- 線形弾性、微小変形（たわみが梁の長さに対して十分小さい）を仮定する。
- 梁は一様断面・一様材質で、EI（曲げ剛性）は梁の全長で一定とする。
- せん断変形は無視する（オイラー・ベルヌーイ梁理論）。
- 自重は、入力荷重に明示的に含めない限り考慮しない。

## 採用式

いずれも材料力学・機械設計の教科書に一般に掲載される、単一荷重・単一区間の基本式である（例：Gere & Goodno, *Mechanics of Materials*；Shigley, *Mechanical Engineering Design*；Roark, *Formulas for Stress and Strain*、および国内の材料力学教科書）。特定メーカー・特定規格に固有の式ではない。曲げ応力は各条件共通で σmax = Mmax / Z（断面係数Zは断面の外縁における値）とする。

### 単純支持梁＋中央集中荷重（荷重P、スパンL）

```text
RA = RB = P / 2
Mmax = P × L / 4            （梁中央）
σmax = Mmax / Z
δmax = P × L³ / (48 × E × I)　（梁中央、絶対値）
```

### 単純支持梁＋等分布荷重（荷重強度w、スパンL）

```text
RA = RB = w × L / 2
Mmax = w × L² / 8            （梁中央）
σmax = Mmax / Z
δmax = 5 × w × L⁴ / (384 × E × I)　（梁中央、絶対値）
```

### 片持ち梁＋先端集中荷重（荷重P、長さL）

```text
R  = P                         （固定端の垂直反力）
M0 = Mmax = P × L              （固定端）
σmax = Mmax / Z
δmax = P × L³ / (3 × E × I)　（自由端＝先端、絶対値）
```

### 片持ち梁＋等分布荷重（荷重強度w、長さL）

```text
R  = w × L                     （固定端の垂直反力）
M0 = Mmax = w × L² / 2          （固定端）
σmax = Mmax / Z
δmax = w × L⁴ / (8 × E × I)　（自由端＝先端、絶対値）
```

## 単位

ページ内では N・mm・N/mm²（=MPa）・mm⁴・mm³ に固定し、単位の混在を避けている。他の単位系（例：SI基本単位のN・m・Pa）で扱う場合は、計算前に上記単位系へ換算する必要がある。

## 検算値（独立計算による確認）

Pythonで独立に検算した値（丸め誤差以外で不一致がある場合は公開可能扱いにしない、という受入基準に対応）。共通条件：L=1000 mm、E=200,000 N/mm²、I=8,000,000 mm⁴、Z=80,000 mm³。

| 条件 | 荷重 | Mmax [N·mm] | σmax [N/mm²] | δmax [mm] | 反力 |
|---|---|---|---|---|---|
| 単純支持＋中央集中荷重 | P=1000 N | 250,000 | 3.125 | 0.0130208333 | RA=RB=500 N |
| 単純支持＋等分布荷重 | w=1 N/mm | 125,000 | 1.5625 | 0.00813802083 | RA=RB=500 N |
| 片持ち＋先端集中荷重 | P=1000 N | 1,000,000 | 12.5 | 0.208333333 | R=1000 N |
| 片持ち＋等分布荷重 | w=1 N/mm | 500,000 | 6.25 | 0.078125 | R=1000 N |

## 対象外・注意事項

- 連続梁、不静定梁、複数の集中荷重の重ね合わせ、偏心荷重は対象外。
- せん断変形、座屈、疲労、応力集中、塑性解析は対象外。
- 断面二次モーメントI・断面係数Zの算出自体は対象外（[section-properties.html](../../section-properties.html)を使用する）。
- たわみの向き（符号）は表示せず、最大たわみ量の絶対値のみを表示する。