# 断面特性計算 - 技術根拠

## 対象範囲

単純断面（長方形・円形・中空長方形・中空円形）と、これらの矩形要素を合成・控除して作る理想化断面（理想化H形・I形、理想化T形、理想化コの字形、理想化L形）について、次を求める。

- 断面積 A
- 図心位置（基準コーナーからの座標、または中心までの距離）
- 図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix
- 図心を通る垂直軸まわりの断面二次モーメント Iy
- 対称断面：断面係数 Zx = Ix / (図心から上下端までの距離)、Zy = Iy / (図心から左右端までの距離)
- 非対称断面：方向別断面係数 Zx上・Zx下・Zy左・Zy右（図心から各最外縁までの距離を用いて個別に算出）

対象外：任意多角形・一般合成断面の自動合算、せん断中心、ねじり定数、薄肉開断面・薄肉閉断面のねじり特性、座屈、応力集中、JIS規格形鋼の寸法・断面性能表そのもの。理想化L形断面については、断面二次相乗モーメントIxy・主軸角度・主断面二次モーメント・主軸まわり断面係数は本Unitの対象外（後述）。

## 理想化断面と実在するJIS規格形鋼の違い

「理想化H形・I形」「理想化T形」「理想化コの字形」「理想化L形」は、矩形要素を組み合わせた自由寸法の幾何学的断面である。角R（フィレット）、テーパー（フランジの傾斜）、ロール成形・溶接による寸法差、規格化された呼び寸法系列を考慮していない。したがって、これらの計算結果は、JIS G 3192（熱間圧延形鋼の形状、寸法、質量及びその許容差）等に規定される実在のJIS形鋼（JIS H形鋼、JIS溝形鋼、JIS山形鋼等）の断面性能表の値とは、一般に一致しない。実在規格形鋼の正式な断面性能値（角R等を考慮した正確な値）が必要な場合は、規格原本またはメーカーの規格形鋼カタログを確認すること。本ページ・本資料はJIS規格値を推測して転載・再現するものではない。

## 採用式

いずれも材料力学・機械設計の教科書に一般に掲載される、対称断面の基本式である（例：Gere & Goodno, *Mechanics of Materials*；Shigley, *Mechanical Engineering Design*；Roark, *Formulas for Stress and Strain*、および国内の材料力学教科書）。特定メーカー・特定規格に固有の式ではない。

### 長方形（幅 b、高さ h）

```text
A  = b × h
Ix = b × h³ / 12
Iy = h × b³ / 12
Zx = Ix / (h / 2)
Zy = Iy / (b / 2)
```

図心は幅・高さそれぞれの中央（左下コーナーを原点とすると (b/2, h/2)）。

### 円形（直径 D）

```text
A  = π × D² / 4
Ix = Iy = π × D⁴ / 64
Zx = Zy = Ix / (D / 2)
```

円形断面は対称性により Ix = Iy となる（どの直径線を基準にとっても断面二次モーメントは等しいため）。

### 中空長方形（外形 B×H、内形 b×h、同心・辺が平行）

外側長方形から内側長方形を差し引く。両者が同一の図心・同一方向の軸を共有するため、断面二次モーメントは単純に減算できる（重ね合わせの原理）。

```text
A  = B × H − b × h
Ix = (B × H³ − b × h³) / 12
Iy = (H × B³ − h × b³) / 12
Zx = Ix / (H / 2)
Zy = Iy / (B / 2)
```

内形は外形より小さくなければならない（b < B かつ h < H）。壁厚が一定の薄肉断面である必要はない。

### 中空円形（外径 D、内径 d、同心）

外側円から内側円を差し引く（重ね合わせの原理、中空長方形と同様）。

```text
A  = π × (D² − d²) / 4
Ix = Iy = π × (D⁴ − d⁴) / 64
Zx = Zy = Ix / (D / 2)
```

内径は外径より小さくなければならない（d < D）。

### 理想化H形・I形断面（全幅 B、全高 H、フランジ厚 tf、ウェブ厚 tw）

上下フランジ（幅B×厚tf、2枚）とウェブ（厚tw×高さ(H−2tf)）を、いずれも矩形の合成として重ね合わせる（重ね合わせの原理）。上下・左右いずれも対称なため、図心は幾何学的中心 (B/2, H/2) と一致する。断面二次モーメントは、各矩形の図心軸まわりの断面二次モーメントに、平行軸の定理（Steinerの定理）による補正項を加えて求める。

```text
A  = 2×B×tf + tw×(H−2tf)
Ix = 2×[B×tf³/12 + B×tf×((H−tf)/2)²] + tw×(H−2tf)³/12
Iy = 2×(tf×B³/12) + (H−2tf)×tw³/12
Zx上 = Zx下 = Ix / (H/2)
Zy左 = Zy右 = Iy / (B/2)
```

対称のため方向別断面係数は対向する方向で一致する。適用条件：tf>0、tw>0、tw<B、2tf<H。

### 理想化T形断面（フランジ幅 B、全高 H、フランジ厚 tf、ウェブ厚 tw）

フランジ（幅B×厚tf、上端）とウェブ（厚tw×高さ(H−tf)、下側）の合成。上下方向に非対称なため、図心位置は面積モーメント（各矩形の面積×図心座標の総和を全体面積で除す）で求め、断面二次モーメントは平行軸の定理で補正する。左右方向は対称。

```text
A  = B×tf + tw×(H−tf)
ȳ  = [B×tf×(H−tf/2) + tw×(H−tf)×((H−tf)/2)] / A   （下端基準）
Ix = [B×tf³/12 + B×tf×(yf−ȳ)²] + [tw×(H−tf)³/12 + tw×(H−tf)×(yw−ȳ)²]
Iy = tf×B³/12 + (H−tf)×tw³/12
Zx上 = Ix / (H−ȳ)、Zx下 = Ix / ȳ
Zy左 = Zy右 = Iy / (B/2)
```

適用条件：tf>0、tw>0、tw<B、tf<H。

### 理想化コの字断面（全幅 B、全高 H、フランジ厚 tf、ウェブ厚 tw）

左端のウェブ（厚tw×高さH）と、上下フランジ（幅(B−tw)×厚tf、2枚、ウェブから右方向へ伸びる）の合成。上下方向は対称（図心は H/2）、左右方向は非対称なため図心x座標は面積モーメントで求める。

```text
A  = tw×H + 2×(B−tw)×tf
x̄  = [tw×H×(tw/2) + 2×(B−tw)×tf×((tw+B)/2)] / A   （ウェブ側端を原点）
Ix = tw×H³/12 + 2×[(B−tw)×tf³/12 + (B−tw)×tf×((H−tf)/2)²]
Iy = H×tw³/12 + tw×H×(tw/2−x̄)² + 2×[tf×(B−tw)³/12 + (B−tw)×tf×((tw+B)/2−x̄)²]
Zx上 = Zx下 = Ix / (H/2)
Zy左 = Iy / x̄、Zy右 = Iy / (B−x̄)
```

適用条件：tf>0、tw>0、tw<B、2tf<H。

### 理想化L形断面（横脚長 B、縦脚長 H、板厚 t）

縦脚（幅t×高さH）と、横脚（幅(B−t)×高さt、縦脚との重複部分を除く）の合成。上下・左右いずれも非対称なため、図心位置は面積モーメントで求める。

```text
A  = t×H + (B−t)×t
x̄  = [t×H×(t/2) + (B−t)×t×((t+B)/2)] / A   （角のコーナーを原点）
ȳ  = [t×H×(H/2) + (B−t)×t×(t/2)] / A
Ix = [t×H³/12 + t×H×(H/2−ȳ)²] + [(B−t)×t³/12 + (B−t)×t×(t/2−ȳ)²]
Iy = [H×t³/12 + t×H×(t/2−x̄)²] + [t×(B−t)³/12 + (B−t)×t×((t+B)/2−x̄)²]
Zx上 = Ix / (H−ȳ)、Zx下 = Ix / ȳ
Zy左 = Iy / x̄、Zy右 = Iy / (B−x̄)
```

適用条件：t>0、t<B、t<H。断面二次相乗モーメントIxy、主軸角度、主断面二次モーメント、主軸まわり断面係数はいずれも本Unitの対象外とし、実装していない。L形断面は一般に主軸が部材辺と平行にならないため、主軸まわりの厳密な強度評価が必要な場合は、Ixy・主軸を含めた計算を別途行うか、専門資料・規格形鋼のカタログ値を確認すること。

## 検算値（独立計算による確認）

Pythonで独立に検算した値（丸め誤差以外で不一致がある場合は公開可能扱いにしない、という受入基準に対応）。

| 断面 | 入力 | A | Ix | Iy | Zx | Zy |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 長方形 | b=100, h=200 | 20000 | 66,666,666.67 | 16,666,666.67 | 666,666.67 | 333,333.33 |
| 円形 | D=100 | 7,853.98 | 4,908,738.52 | 4,908,738.52 | 98,174.77 | 98,174.77 |
| 中空長方形 | B=100, H=200, b=80, h=180 | 5,600 | 27,786,666.67 | 8,986,666.67 | 277,866.67 | 179,733.33 |
| 中空円形 | D=100, d=80 | 2,827.43 | 2,898,119.22 | 2,898,119.22 | 57,962.38 | 57,962.38 |

単位は、寸法をmmで入力した場合、A: mm²、Ix・Iy: mm⁴、Zx・Zy: mm³（ページの単位選択に応じてmm系・m系を切り替える）。

理想化断面4種の検算値（Pythonで独立に検算、単位はN・mm系: mm、mm²、mm⁴、mm³）。

| 断面 | 入力 | A | 図心(x̄,ȳ) | Ix | Iy | Zx上 | Zx下 | Zy左 | Zy右 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 理想化H形・I形 | B=100,H=200,tf=10,tw=8 | 3,440 | (50, 100) | 21,954,666.67 | 1,674,346.67 | 219,546.67 | 219,546.67 | 33,486.93 | 33,486.93 |
| 理想化T形 | B=100,H=150,tf=12,tw=10 | 2,580 | (50, 103.88) | 5,814,925.12 | 1,011,500.00 | 126,092.68 | 55,975.33 | 20,230.00 | 20,230.00 |
| 理想化コの字 | B=80,H=150,tf=10,tw=8 | 2,640 | (25.82, 75) | 9,318,000.00 | 1,675,752.73 | 124,240.00 | 124,240.00 | 64,905.92 | 30,928.32 |
| 理想化L形 | B=100,H=75,t=10 | 1,650 | (32.27, 19.77) | 791,164.77 | 1,636,477.27 | 14,325.62 | 40,012.93 | 50,707.75 | 24,162.75 |

図心(x̄,ȳ)は、H形・I形とT形・コの字形は左下コーナー基準、L形は角のコーナー基準（本文の各式の基準点と対応）。

## 対象外・注意事項

- 密度・材質は扱わない（断面形状のみに基づく幾何学的特性）。
- 任意多角形・一般合成断面の自動合算は対象外（本ページで対応する合成断面は、あらかじめ定義した理想化H形・I形、理想化T形、理想化コの字形、理想化L形の4種のみ）。
- せん断中心、ねじり定数（丸軸以外のねじり剛性）は対象外。
- 薄肉理論を仮定しない（中空形状・理想化断面はいずれも実寸法で計算する）。
- 応力集中、座屈、疲労は本ページの対象外。
- 理想化H形・I形、理想化T形、理想化コの字形、理想化L形は、角R・テーパー・ロール成形差・溶接ビードを無視した自由寸法の理想化断面であり、実在するJIS規格形鋼（JIS H形鋼、JIS溝形鋼、JIS山形鋼等）の断面性能表の値とは一致を保証しない。JIS G 3192等の規格値は本ページ・本資料に転載していない。
- 理想化L形断面のIxy・主軸角度・主断面二次モーメント・主軸まわり断面係数は本Unitでは対象外。